Сферическая геометрия

Сферическая геометрия — геометрия на сфере^[1]. Раздел математики, изучающий геометрические образы на сфере в трёхмерном пространстве, аналогично тому как планиметрия изучает их на двумерном пространствеплоскости^[2][3][4].

Основные понятия этих геометрий^[5]:

• плоской — точка плоскости, прямая на плоскости и движение плоскости;
• сферической — точка сферы, большая окружность и движение сферы.

Предмет сферической геометрии — изучение таких свойствфигур, которые не изменяются при произвольных движениях сферы^[6].

Предмет сферической геометрии — это частный случай предмета геометрии вообще^[6].

Предмет геометрии — изучение таких свойств фигур, которые не изменяются при произвольных движениях фигуры^[7].

Сферическая геометрия возникла в древности в связи с потребностями астрономии и развилась в связи с потребностями астрономии, географии и мореплавания^[8].

Разные разделы геометрии имеют разное происхождение^[9]:

• геометрия на плоскости существенно «земного» происхождения и, как следует из самого слова «геометрия» (от др.-греч.γεωμετρία ← γῆ «земля» + μετρέω «мерить; оценивать», буквально «землемерие»), возникла из измерения небольших участков земли, которые можно рассматривать как плоские;
• сферическая геометрия, то есть геометрия на сфере, напротив, «небесного» происхождения, с этой геометрией человечество впервые столкнулось при изучении видимой небесной сферы в астрономии.

Сочинение «Сферика»Менелая приходится на ранний этап возникновения и развития сферической геометрии в древности. Результаты, описанные в этой книге, были сразу применены Клавдием Птолемеем в астрономии. В дальнейшем, с развитием естественных наук (география) и транспорта (мореплавание), сферическая геометрия стала востребована не только в астрономии, но и при изучении поверхности земного шара^[5].

В настоящее время плоская и сферическая геометрии задействованы в науке о Земле геодезии^[5]:

• плоская геометрия служит основой низшей геодезии, то есть геодезии небольших участков земли;
• сферическая геометрия служит основой высшей геодезии, то есть геодезии больших участков земли.

Сферическая и плоская геометрия обладают многими общими чертами. Этот факт вытекает из того обстоятельства, что сфера «подвижна» таким же образом, как и плоскость, а именно^[5]:

• любая точка плоскости и выходящий из неё вектор (то есть направление на плоскости) соответствующее движение плоскости отображает на любую другую точку плоскости с выходящим из неё вектором (см. рисунок справа с плоскостью и направлением);
• любая точка сферы и выходящий из неё касательный вектор (то есть направление на сфере) соответствующее движение сферы отображает на любую другую точку сферы с выходящим из неё касательным вектором (см. рисунок справа со сферой и направлением).

Основные понятия этих геометрий^[5]:

• плоской — точка плоскости, прямая на плоскости и движение плоскости;
• сферической — точка сферы, большая окружность и движение сферы.

Окру́жность на сфе́ре (круг на ша́ре^[10]) — сечениесферыплоскостью^{[11][10][2][3][4]}.

Различают следующие два вида окружностей на сфере, два вида сечений сферы плоскостью^[12].

Большая окружность (большой круг), или геодезическая линия^[13], — окружность на сфере, плоскость сечения которой есть диаметральная плоскость, то есть проходит через центр сферы^[12].

Сферическое расстояние между двумя точками сферы — длина дуги большой окружности, проходящей через эти две токи и не превосходящей полуокружности^[14].

Малая окружность (малый круг^[10]) — окружность на сфере, плоскость сечения которой отлична от диаметральной плоскости, то есть не проходит через центр сферы^[15], другими словами, это окружность на сфере, отличная от большой окружности^[10].

Сферический центр большой окружности на сфере — точка пересечения сферы с осью окружности, то есть диаметром сферы, перпендикулярным к плоскости сечения^[10].

Любая большая сферическая окружность имеет два диаметрально противоположных сферических центра^[10].

Полюс большой окружности — её сферический центр, при этом сама большая окружность называется полярой полюса^[10][16].

Движение сферы — преобразование сферы, сохраняющее расстояние между точками на сфере^[17].

Предложение 1.Движение сферы переводит диаметрально противоположные точки в диаметрально противоположные^[18].

Доказательство. При движении сферы радиуса ${\displaystyle r}$ расстояние между диаметрально противоположными точками на сфере, которое максимально и равно ${\displaystyle 2r}$, сохраняется по определению, следовательно, диаметрально противоположные точки переходят в диаметрально противоположные^[18].

Отсутствие плоской аналогии. В плоской геометрии отсутствует аналог этому свойству, поскольку на плоскости не существуют таких пары точек, для которых движение одной точки определяет движение другой^[18].

В итоге движение на плоскости и сфере принципиально отличаются, поскольку^[18]:

• движение плоскости — это преобразование точек плоскости;
• движение сферы — это преобразование пар диаметрально противоположных точек сферы.

Поворот сферы — поворот сферы вокруг её некоторого диаметра ${\displaystyle CC'}$ на угол ${\displaystyle \alpha }$. При таком повороте любая окружность сферы с осью ${\displaystyle CC'}$ поворачивается вдоль самой себя на угол ${\displaystyle \alpha }$. При этом все эти окружности поворачиваются на угол ${\displaystyle \alpha }$ в одном направлении (см. рисунок справа с поворотом сферы)^[18].

Симметрия сферы — зеркальное отражение сферы относительно некоторой её диаметральной плоскости ${\displaystyle \Pi }$. При такой симметрии любая точка ${\displaystyle A}$ отображается в такую точку ${\displaystyle A'}$, обладающую следующими свойствами (см. рисунок справа с симметрией сферы)^[19]:

• отрезок ${\displaystyle AA'}$ перпендикулярен плоскости ${\displaystyle \Pi }$,
• середина отрезка ${\displaystyle AA'}$ лежит на плоскости ${\displaystyle \Pi }$.

Предложение 2.Любое движение сферы есть^[19]:

• либо поворот,
• либо симметрия,
• либо композиция поворота и симметрии.

Поэтому в некотором смысле основные движения сферы — это поворот и симметрия^[19].

Плоская аналогия. Любое движение плоскости есть^[20]:

• либо параллельный перенос,
• либо вращение,
• либо скользящая симметрия (симметрия относительно прямой — частный случай скользящей симметрии).

Существуют два подхода к определению предмета сферической геометрии^[6].

Предмет сферической геометрии — изучение таких свойствфигур, которые не изменяются при произвольных движениях сферы^[6].

Предмет сферической геометрии — это частный случай предмета геометрии вообще^[6].

Предмет геометрии — изучение таких свойств фигур, которые не изменяются при произвольных движениях фигуры^[7].

Равные фигуры на сфере — фигуры на сфере, совмещающиеся некоторым движением сферы. Равные фигуры имеют одинаковые геометрические свойства^[6].

Предмет сферической геометрии без симметрии — изучение таких свойств фигур, которые не изменяются только при произвольных поворотах сферы^[6].

Художественная литература. Написан научно-фантастический роман о жизни плоских существ, которые не могут выйти за пределы сферы, на которой живут. Такой мир называется Сферландия.

Равные фигуры без симметрии на сфере — фигуры на сфере, совмещающиеся только некоторым поворотом сферы (см. на рисунке справа равные фигуры)^[6].

Симметричные фигуры на сфере — фигуры на сфере, совмещающиеся некоторым движением сферы, но которые нельзя совместить никаким поворотом сферы (см. на рисунке справа симметричные фигуры)^[6].

Геометрия на плоскости также имет два подхода к определению своего предмета. При первом под движением плоскости понимается любое её движение (параллельный перенос, поворот, симметрия относительно прямой и их композиции). При втором подходе движение плоскости — это только «движение первого рода» (параллельный перенос, поворот и их композиция)^[21].

Эти два подхода приводят к различным геометрическим системам планиметрии. При втором подходе имеются геометрические понятия, не имеющие смысла в обычное планиметрии^[22]:

• направление обхода,
• ориентированная площадь,
• псевдоскалярное произведение.

При втором подходе определение равенства фигур из первого подхода также распадается на два определения^[23].

Равные фигуры без симметрии на плоскости — фигуры. которые переходят друг в друга при «движении первого рода», то есть эти фигуры не просто «равны» в обычном понимании этого слова, но и имеют одинаковое направление обхода (по часовой стрелке или против)^[23].

Симметричные фигуры на плоскости — фигуры, которые «равны» в обычном смысле, но не равны при «движениях первого рода», то есть имеют противоположные направления обхода^[23].

В плоской геометрии при первом подходе равные фигуры всегда можно наложить друг на друга, пусть и за счёт выхода из плоскости в трёхмерное пространство. В сферической геометрии раница между двумя подходами к её предмету может показаться более серьёзной, поскольку никаким «механическим» перемещением в трёхмерном пространстве нельзя совместить симметричные сферические треугольники. Даже если «вынуть» симметричный треугольник из сферы и попытаться приложить его к исходному симметричному треугольнику «другой стороной», то треугольники всё равно не совместятся из-за искривлённости сферы (см. рисунок справа с симметричными красными треугольниками, выгнутыми в разные стороны)^[22].

Однако это не принципиально, потому что, если сферу поместить в четырёхмерное пространство, то тогда симметричные фигуры вполне совмещаются «механическим» перемещением, то есть при помощи «движения первого рода» в четырёхмерном пространстве^[22].

Предложение 1.В сферической геометрии пара диаметрально противоположных точек есть геометрический объект^[24].

Доказательство. Произвольное движение сферы переводит пару диаметрально противоположных точек в пару диаметрально противоположных точек^[24].

Принцип двойственности сферической геометрии — любая теорема сферической геометрии имеет другую двойственную теорему этой геометрии, которая получается из исходной взаимной заменой слов^[25]:

• «пара диаметрально противоположных точек» и «большая окружность»;
• «лежит на» и «проходит через»;
• «соединяются» и «пересекаются».

Доказательство. Имеют место два взаимно однозначных соответствия:

• любая большая окружность и её пара полюсов;
• пара диаметрально противоположных точек и их поляра,

и, кроме того, когда пара диаметрально противоположных точек лежит на некоторой большой окружности, то поляра этой пары точек проходит через полюсы этой окружности^[26].

Двойственные теоремы сферической геометрии — две теоремы, тексты которых получаются друг из друга заменами принципа двойственности^[26].

Пример. Приведём следующий пример двойственных теорем^[24]:

Когда доказана одна из двойственных теорем, то доказательство остальной теоремы получается из доказательства первой заменой каждой большой окружности её полюсами, а каждой пары диаметрально противоположных точек — её полярой^[24].

• Геометрия Римана
• Сферическая система координат
• Сферические функции

• Битюцков В. И. Сферическая геометрия // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 5 Слу—Я. М.: «Советская Энциклопедия», 1985. 1248 стб., ил. Стб. 290—291.
• Битюцков В. И. Сферическая геометрия // Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров; Ред. Кол.: С. И. Адян, Н. С. Бахвалов, В. И. Битюцков, А. П. Ершов, Л. Д. Кудрявцев, А. Л. Онищик, А. П. Юшкевич. М.: «Советская энциклопедия», 1988. 847 с., ил. С. 571.
• Розенфельд Б. А. Основные понятия сферической геометрии и тригонометрии // Энциклопедия элементарной математики, книга четвёртая — геометрия / Гл. ред. П. С. Александров, А. И. Маркушевич, А. Я. Хинчин. Ред. книги 4: В. Г. Болтянский, И. М. Яглом. М.: Физматгиз, 1963. 568 с., ил. С. 518—557.
• Степанов Н. Н.Сферическая тригонометрия. 2-е изд. М.—Л.: ОГИЗ. Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1948. 154 с., ил.
• Сферическая геометрия // Большая советская энциклопедия. (В 30 томах) Гл. ред. А. М. Прохоров. Изд. 3-е. М.: «Советская энциклопедия», 1976. Т. 25. Струнино — Тихорецк. 1976. 600 с. с илл., 27 л. илл., 3 л. карт. С. 116—117.
• Яглом И. М., Атанасян Л. С. Геометрические преобразования // Энциклопедия элементарной математики, книга четвёртая — геометрия / Гл. ред. П. С. Александров, А. И. Маркушевич, А. Я. Хинчин. Ред. книги 4: В. Г. Болтянский, И. М. Яглом. М.: Физматгиз, 1963. 568 с., ил. С. 49—158.

• Алексеевский Д. В., Винберг Э. Б., Солодовников А. С. Геометрия пространств постоянной кривизны. // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. — М.: ВИНИТИ, 1988. — Т. 29. — С. 1—146.
• Берже М. Геометрия. / Пер. с франц., в 2 т. — М.: Мир, 1984. — Т. II, ч. V: Внутренняя геометрия сферы, гиперболическая геометрия, пространство сфер.
• Степанов Н. Н. Сферическая тригонометрия. — Л.-М., 1948.
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — М.: Физматлит, 2009.
• Александров А. Д., Нецветаев Н. Ю. Геометрия. — М.: Наука, 1990.
• Александров П. С. Что такое неэвклидова геометрия. — М.: УРСС, 2007.