Поверхность второго порядка

Поверхность второго порядка — геометрическое место точек трёхмерного пространства, прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида

${\displaystyle Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+Dxy+Eyz+Fxz+Gx+Hy+Iz+J=0}$

в котором по крайней мере один из коэффициентов ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$,${\displaystyle D}$${\displaystyle E}$, ${\displaystyle F}$, отличен от нуля. Является частным случаем квадрики.

Поверхность${\displaystyle S}$ называется цилиндрической поверхностью с образующей ${\displaystyle {\vec {l}}}$, если для любой точки ${\displaystyle M_{0}}$ этой поверхности прямая, проходящая через эту точку параллельно образующей ${\displaystyle {\vec {l}}}$, целиком принадлежит поверхности ${\displaystyle S}$.

Теорема (об уравнении цилиндрической поверхности).
Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность ${\displaystyle S}$ имеет уравнение ${\displaystyle f(x,y)=0}$, то ${\displaystyle S}$ — цилиндрическая поверхность с образующей, параллельной оси ${\displaystyle OZ}$.

Кривая, задаваемая уравнением ${\displaystyle f(x,y)=0}$ в плоскости ${\displaystyle z=0}$, называется направляющей цилиндрической поверхности.

Если направляющая цилиндрической поверхности задаётся кривой второго порядка, то такая поверхность называется цилиндрической поверхностью второго порядка.

Поверхность${\displaystyle S}$ называется конической поверхностью с вершиной в точке ${\displaystyle O}$, если для любой точки ${\displaystyle M_{0}}$ этой поверхности прямая, проходящая через ${\displaystyle M_{0}}$ и ${\displaystyle O}$, целиком принадлежит этой поверхности.

Функция ${\displaystyle F(x,y,z)}$ называется однородной порядка ${\displaystyle m}$, если ${\displaystyle \forall t\in \mathbb {R} \;\forall x,y,z}$ выполняется следующее: ${\displaystyle F(tx,ty,tz)=t^{m}F(x,y,z)}$

Теорема (об уравнении конической поверхности).
Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность ${\displaystyle S}$ задана уравнением ${\displaystyle F(x,y,z)=0}$, где ${\displaystyle F(x,y,z)}$ — однородная функция, то ${\displaystyle S}$ — коническая поверхность с вершиной в начале координат.

Если поверхность ${\displaystyle S}$ задана функцией ${\displaystyle F(x,y,z)}$, являющейся однородным алгебраическим многочленом второго порядка, то ${\displaystyle S}$ называется конической поверхностью второго порядка.

• Каноническое уравнение конуса второго порядка имеет вид:

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=0}$

Поверхность${\displaystyle S}$ называется поверхностью вращения вокруг оси ${\displaystyle OZ}$, если для любой точки ${\displaystyle M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})}$ этой поверхности окружность, проходящая через эту точку в плоскости ${\displaystyle z=z_{0}}$ с центром в ${\displaystyle (0,0,z_{0})}$ и радиусом ${\displaystyle r={\sqrt {x_{0}^{2}+y_{0}^{2}}}}$, целиком принадлежит этой поверхности.

Теорема (об уравнении поверхности вращения).
Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность ${\displaystyle S}$ задана уравнением ${\displaystyle F(x^{2}+y^{2},z)=0}$, то ${\displaystyle S}$ — поверхность вращения вокруг оси ${\displaystyle OZ}$.

В случае, если ${\displaystyle a=b\neq 0}$, перечисленные выше поверхности являются поверхностями вращения.

Уравнение эллиптического параболоида имеет вид

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=2z.}$

Если ${\displaystyle a=b}$, то эллиптический параболоид представляет собой поверхность вращения, образованную вращением параболы, параметр которой ${\displaystyle p=a^{2}=b^{2}}$, вокруг вертикальной оси, проходящей через вершину и фокус данной параболы.

Пересечение эллиптического параболоида с плоскостью ${\displaystyle z=z_{0}>0}$ является эллипсом.

Пересечение эллиптического параболоида с плоскостью ${\displaystyle x=x_{0}}$ или ${\displaystyle y=y_{0}}$ является параболой.

Уравнение гиперболического параболоида имеет вид

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=2z.}$

Пересечение гиперболического параболоида с плоскостью ${\displaystyle z=z_{0}}$ является гиперболой.

Пересечение гиперболического параболоида с плоскостью ${\displaystyle x=x_{0}}$ или ${\displaystyle y=y_{0}}$ является параболой.

Ввиду геометрической схожести гиперболический параболоид часто называют «седлом».

Если центр поверхности второго порядка существует и единственен, то его координаты ${\displaystyle \left(x_{0},\;y_{0}\;z_{0}\right)}$ можно найти, решив систему уравнений:

${\displaystyle {\begin{cases}a_{11}x_{0}+a_{12}y_{0}+a_{13}z_{0}+a_{14}=0\\a_{21}x_{0}+a_{22}y_{0}+a_{23}z_{0}+a_{24}=0\\a_{31}x_{0}+a_{32}y_{0}+a_{33}z_{0}+a_{34}=0\end{cases}}}$

Уравнение поверхности второго порядка может быть переписано в матричном виде:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x&y&z&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\\1\end{pmatrix}}=0}$

Также можно выделить квадратичную и линейную части друг от друга:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}+2{\begin{pmatrix}a_{14}&a_{24}&a_{34}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}+a_{44}=0}$

Если обозначить ${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{pmatrix}}\quad b={\begin{pmatrix}a_{14}&a_{24}&a_{34}\end{pmatrix}}\quad X={\begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix}}^{T}}$ , то уравнение приобретает следующий вид:

${\displaystyle X^{T}AX+2bX+a_{44}=0}$

Значения следующих величин сохраняются при ортогональных преобразованиях базиса:

• Связанных с матрицей ${\displaystyle A}$:
  • ${\displaystyle I_{1}=\mathrm {tr} \,A}$
  • ${\displaystyle I_{2}={M_{A}}_{1,2}^{1,2}+{M_{A}}_{1,3}^{1,3}+{M_{A}}_{2,3}^{2,3}}$, где ${\displaystyle {M_{A}}_{i,j}^{i,j}}$ — минор второго порядка матрицы A, расположенный в строках и столбцах с индексами i и j.
  • ${\displaystyle I_{3}=\det A}$

• Связанных с блочной (расширенной) матрицей ${\displaystyle B={\begin{pmatrix}A&b\\b^{T}&a_{44}\end{pmatrix}}}$^[1]
  • ${\displaystyle K_{1}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=i+1}^{4}{M_{B}}_{i,j}^{i,j}}$
  • ${\displaystyle K_{2}=\sum _{i=1}^{2}\sum _{j=i+1}^{3}\sum _{k=j+1}^{4}{M_{B}}_{i,j,k}^{i,j,k}}$
  • ${\displaystyle K_{4}=\det B}$

Такие инварианты также иногда называют полуинвариантами или семи-инвариантами.

При параллельном переносе системы координат величины ${\displaystyle I_{1},I_{2},I_{3},K_{4}}$ остаются неизменными. При этом:

• ${\displaystyle K_{2}}$ остается неизменной только если ${\displaystyle I_{2}=I_{3}=K_{4}=0}$
• ${\displaystyle K_{1}}$ остается неизменной только если ${\displaystyle I_{2}=I_{3}=K_{4}=K_{2}=0}$

Для любой алгебраической поверхности второго порядка существует такая декартова система координат, в которой уравнение этой поверхности принимает один из следующих семнадцати канонических видов:

• В. А. Ильин, Г. Д. Ким. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. — М.: Проспект, 2012. — 400 с.
• В. А. Ильин, Э. Г. Позняк. Аналитическая геометрия. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 240 с.
• П. С. Александров. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 1979. — 511 с.
• Шаль. Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов. Гл. 5, § 46-54. М., 1883.

• Квадрика
• Поверхность вращения
• Сфера
• Цилиндрическая поверхность
• Гиперболоид
• Параболоид
• Эллипсоид
• Поверхность Дарбу

В статье есть список источников, но не хватает сносок.

Без сносок сложно определить, из какого источника взято каждое отдельное утверждение. Вы можете улучшить статью, проставив сноски на источники, подтверждающие информацию. Сведения без сносок могут быть удалены.(14 февраля 2014)