Векторный анализ

Ве́кторный ана́лиз — раздел математики, распространяющий методы математического анализа на векторы, как правило в двух- или трёхмерном пространстве.

Объектами приложения векторного анализа являются:

• Векторные поля — отображения одного векторного пространства в другое.
• Скалярные поля — функции на векторном пространстве.

Наибольшее применение векторный анализ находит в физике и инженерии. Основные преимущества векторных методов перед традиционными координатными:

1. Компактность. Одно векторное уравнение объединяет несколько координатных, и его исследование чаще всего можно проводить непосредственно, не заменяя векторы на их координатную запись.
2. Инвариантность. Векторное уравнение не зависит от системы координат и без труда переводится в координатную запись в любой удобной системе координат.
3. Наглядность. Дифференциальные операторы векторного анализа и связывающие их соотношения обычно имеют простое и наглядное физическое истолкование.

Наиболее часто применяемые векторные операторы:

• Ротор и дивергенция — для векторных полей.
• Градиент — для скалярных полей.
• Лапласиан — для скалярных и векторных полей.

${\displaystyle \operatorname {grad} (f)=\nabla f={\frac {\partial f}{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathbf {j} +{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathbf {k} }$

${\displaystyle \operatorname {div} (\mathbf {F} )=\nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}}$

${\displaystyle \operatorname {rot} (\mathbf {F} )=\nabla \times \mathbf {F} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\F_{x}&F_{y}&F_{z}\end{vmatrix}}=\left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)\mathbf {k} }$

${\displaystyle \Delta f=\nabla ^{2}f=\nabla \cdot \nabla f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}}$

${\displaystyle \Delta \mathbf {A} ={\Delta }A_{x}\mathbf {i} +{\Delta }A_{y}\mathbf {j} +{\Delta }A_{z}\mathbf {k} ={\biggl (}{\frac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial z^{2}}}{\Biggr )}\mathbf {i} +{\biggl (}{\frac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial z^{2}}}{\Biggr )}\mathbf {j} +{\biggl (}{\frac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial z^{2}}}{\Biggr )}\mathbf {k} }$

Указанные операции называются дифференциальными операциями второго порядка по той причине, что они сводятся к двукратному дифференцированию скалярных или векторных функций (формально: в их символической записи оператор Гамильтона ${\displaystyle \Delta }$ встречается два раза).^[2]

Приведём сводку практически важных теорем многомерного анализа в векторной записи.

Первым векторы ввёл У. Гамильтон в связи с открытием в 1843 г. кватернионов (как их трёхмерную мнимую часть). В двух монографиях (1853, 1866 посмертно) Гамильтон ввёл понятие вектора и вектор-функции, описал дифференциальный оператор ${\displaystyle \nabla }$ («набла», 1846) и многие другие понятия векторного анализа. Он определил в качестве операций над новыми объектами скалярное и векторное произведения, которые для кватернионов получались чисто алгебраически (при обычном их умножении). Гамильтон ввёл также понятия коллинеарности и компланарности векторов, ориентации векторной тройки и др.

Компактность и инвариантность векторной символики, использованной в первых трудах Максвелла (1873), заинтересовали физиков; вскоре вышли «Элементы векторного анализа» Гиббса (1880-е годы), а затем Хевисайд (1903) придал векторному исчислению современный вид. Примечательно, что уже в работах Максвелла кватернионная терминология почти отсутствует, фактически заменённая на чисто векторную. Термин «векторный анализ» предложил Гиббс (1879) в своём курсе лекций.

• Александрова Н. В. Формирование основных понятий векторного исчисления // Историко-математические исследования. — М.: Наука, 1982. — № 26. — С. 205—234.
• Борисенко А. И., Тарапов И. Е. Векторный анализ и начала тензорного исчисления. М.: Высшая школа, 1966, 251 с.
• Краснов М. Л., Кисилев А. И., Макаренко Г. И. Векторный анализ. Наука, 1978, 160 с. (2-е изд. УРСС, 2002)
• Кумпяк Д. Е.Векторный и тензорный анализ.Архивная копия от 27 февраля 2014 на Wayback Machine Учебное пособие. Тверь: Тверской гос. университет, 2007, 158 с.
• Мак-Коннел А. Дж.Введение в тензорный анализ с приложениями к геометрии, механике и физике.Архивная копия от 27 февраля 2014 на Wayback Machine М.: Физматлит, 1963, 411 с.
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, том III. — М.: Наука, 1966.
• В. Г. Воднев, А. Ф. Наумович, Н. Ф. Наумович «Математический словарь высшей школы». Издательство МПИ, 1984.

• Л. И. Коваленко, Элементы векторного анализа — МФТИ 2001 (pdf)Архивная копия от 23 мая 2006 на Wayback Machine
• Статья по векторному анализу на AstronetАрхивная копия от 16 мая 2005 на Wayback Machine